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Para construir o modelo binomial vamos introduzir uma sequência de ensaios de Bernoulli. Tal sequência é definida por meio das seguintes condições :

• Em cada ensaio considera-se somente a ocorrência ou não-ocorrência de um certo evento que será denominado sucesso (S) e cuja não-ocorrência será denominada falha (F).
• Os ensaios são independentes.
• A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p é a mesma para cada ensaio. A probabilidade de falha será denotada por 1-p.

Para um experimento que consiste na realização de $n$ ensaios independentes de Bernoulli, o espaço amostral pode ser considerado como o conjunto de n-uplas, em que cada posição há um sucesso (S) ou uma falha (F).

A probabilidade de um ponto amostral com sucessos nos $k$ primeiros ensaios e falhas nos $n-k$ ensaios seguintes é $p^k(1-p)^.$

Note que esta é a probabilidade de qualquer ponto com $k$ sucessos e $n-k$ falhas. O número de pontos do espaço amostral que satisfaz essa condição é igual ao número de maneiras com que podemos escolher $k$ ensaios para a ocorrência de sucesso dentre o total de $n$ ensaios, pois nos $n-k$ restantes deverão ocorrer falhas. Este número é igual ao número de combinações de $n$ elementos tomados $k$ a $k$, ou seja,

Definição 5.1.1:

Seja $X$ o número de sucessos obtidos na realização de $n$ ensaios de Bernoulli independentes. Diremos que $X$ tem distribuição binomial com parâmetros $n$ e $p$, em que $p$ é a probabilidade de sucesso em cada ensaio, se sua função de probabilidade for dada por

Exemplo 5.1.1:

Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa (sucesso) é $p = 0,1$. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas. Qual a probabilidade de se obter:

Solução:

4. $\mathbb

(X\geq 2)=\mathbb

(X=2)+\mathbb

(X=3)+\ldots+\mathbb

(X=9)+\mathbb

(X=10)$.

Exemplo 5.1.2:

Suponha que um aluno pretende fazer um teste de múltipla escolha com 10 questões e cinco alternativas por questão respondendo cada uma das questões de forma aleatória. Qual é probabilidade dele acertar no máximo 3 questões?

Como cada questão apresenta cinco alternativas e o aluno pretende respondê-las ao acaso temos que a probabilidade de sucesso em cada questão, ou seja, probabilidade dele escolher a alternativa correta é de 1/5. Desta forma, podemos definir as seguintes variáveis aleatórias com distribuição de Bernoulli

Temos que, para todo $i$, a probabilidade de sucesso é $p=0,2$ (já que temos 5 alternativas disponíveis). Desta forma, $\mathbb

(X_i = 1) = 0,2$. Se definirmos $X$ como sendo a variável aleatória que assume o número total de acertos na prova, temos que

isto é, $X$ tem distribuição binomial com parâmetros $n = 10$ e $p = 0,2$. Como queremos saber a probabilidade do aluno acertar no máximo 3 questões, queremos encontrar o valor de $\mathbb

(X\leq 3)$. Assim

\[P(X\leq 3)=\sum_^ <3>\left( \begin 10\\ i \end \right) (0,2)^i (1-0,2)^<10-i>\thickapprox 0,879.\]

Logo, a probabilidade de que o aluno acerte no máximo 3 questões é de aproximadamente 0,879.

Exemplo 5.1.3:

Uma moeda não viciada é lançada várias vezes. Qual a probabilidade de que obtermos 5 caras antes de obtermos 3 coroas?

Vamos considerar como sucesso a obtenção de cara em cada lançamento da moeda. Desta forma queremos obter 5 sucessos antes de obtermos 3 fracassos. Mas isto só é possível se jogarmos a moeda pelo menos 5 vezes e no máximo 7 vezes, pois em menos de 5 jogadas não é possível obtermos 5 caras e em 8 jogadas ou mais, já temos que ter obtido as 5 caras, pois caso contrário vamos ter obtido 3 coroas, ou mais o que não é o intuito.

Considere as variáveis aleatórias $X_i\sim b(i,0,5)$, definidas como sendo o número de sucessos obtidos em $i$ lançamentos da moeda com $i = 5,6,7$. Sendo assim precisamos calcular $\mathbb

(X_i=5)$ para cada $i$.

Portanto a probabilidade de obtermos 5 caras antes de 3 coroas é:

\[\mathbb

(X_5 =5)+\mathbb

(X_6=5)+\mathbb

(X_7=5)= \sum_^7\left(\begin i\\ 5 \end \right) (1/2)^5 (1-1/2)^\thickapprox 0,23.\]

Exemplo 5.1.4:

(Problema da caixa de fosforo de Banach) Suponha que um homem ande sempre com duas caixas de fósforos com $n$ palitos cada uma. Suponha também que cada vez que ele necessite usar um fósforo ele pegue de forma aleatória em qualquer uma das caixas. Como ele é uma pessoa distraída quando ele pega o último palito da caixa de fósforos ele não se lembra de joga-la fora. Qual a probabilidade de que quando ele perceba que uma das caixas está vazia a outra contenha exatamente $k$ fósforos?

Para facilitar a resolução do problema vamos numerar as caixas de fósforo. Vamos calcular inicialmente a probabilidade de que, quando o homem percebe que a caixa de fósforo número 1 está vazia, a caixa de fósforo número 2 contém exatamente $k$ palitos. Consideremos como sucesso a retirada de um palito da caixa número 1.

Seja $A$ o evento "Retirar um fósforo da caixa número 1, mas a caixa 1 está vazia e a caixa de número 2 contém exatamente $k$ fósforos. O evento $A$ ocorre se, e somente se, o $n+1$-ésimo s ucesso, ocorre na retirada de número $n+1+n-k$.

Em outras palavras para que o evento $A$ ocorra é necessário que nas $n+1$ vezes que obtemos sucesso, ou seja, que retiramos fósforo da caixa 1, já tenhamos realizado $n+1+n-k$ experimentos. Com isso em mente, concluímos que deve haver n sucessos nos 2n-k primeiros experimentos, e deve haver sucesso na vez seguinte.

\[\mathbb

(A)=\left(\begin 2n-k \\ n \end \right)\cdot \left(\displaystyle\frac<1> <2>\right)^n \cdot \left(1- \displaystyle \frac<1> <2>\right)^<2n-k-n>\cdot \displaystyle \frac<1><2>=\left(\begin 2n-k \\ n \end \right) \cdot \left(\displaystyle \frac<1> <2>\right)^ <2n-k>\cdot \displaystyle \frac<1><2>.\]

Como a probabilidade de que quando o homem constate de que a caixa de número 2 está vazia e a caixa de número 1 contém exatamente $k$ fósforos também é igual a $\mathbb

(A)$, a probabilidade que procuramos é $2\mathbb

(A)$.

Portanto a probabilidade de que quando ele perceba que uma das caixas está vazia a outra contenha exatamente $k$ fósforos é de

\[\left(\begin 2n-k \\ n \end \right) \cdot \left(\displaystyle \frac<1> <2>\right)^<2n-k>.\]

Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância

Seja $X$ uma variável aleatória com distribuição Binomial$(n,p)$. Então a função geradora de momentos de $X$, $M_X(t)$ é dada por

em que, na última igualdade, utilizamos a fórmula do binômio de Newton. Podemos encontrar a média e a variância de $X$ através da função geradora de momentos. Assim

Para encontrarmos a variância basta derivarmos mais uma vez a função $M_X(t)$.

E, portanto, obtemos que $\mathbb(X^2)=M^<\prime\prime>_X(0)=n(n-1)p^2+ pn$. Desta forma, $\text(X)$ pode ser calculada por

Portanto o valor esperado representa o número médio de sucessos. Por definição, temos que